【GAMES101】图形学学习记录——变换
【GAMES101】图形学学习记录——变换
在正式开始学习计算机图形学之前，我们需要了解一些关于线性代数的基础知识。
点和向量的表示
我们通常用一个二维列向量来表示一个点的位置或者一个向量，例如：
矩阵的表示
矩阵的表示方式：
图形的变换
矩阵和向量之间可以进行加减乘除等运算，这里省略。我们知道，一个图形可以用一系列点来表示。如果我们想要对一个图形进行变换操作，我们只需要让这个图形的所有点移动到我们想要的位置即可。我们可以通过对这些点进行运算来实现这个操作。
镜像变换
对于这个变换，我们只需要让x或y值变成相反数。
切变
旋转
平移
齐次坐标
我们可以注意到，前三个变换都是用变换矩阵乘以点的形式，而平移操作需要我们用点的向量加上平移矩阵。有没有一种方法可以将平移操作也统一成乘法形式？
答案是齐次坐标。
我们将所有n维的矩阵和向量都加上一个维度，例如：
我们可以在多出来的这一个维度中表示平移的操作，例如：
而对于向量矩阵来说，多出来的这个维度也有其作用。例如下面这个向量：
当w=0时，这个向量矩阵表示的就是一个向量。当w=1时，这个向量矩阵表示的是一个点。
而当w!=0且w!=1时，它表示的如下的点：
对于前三种变换矩阵，我们只需要加上一个维度即可，例如旋转：
变换的组合
如果我们想对对象进行一系列变换，我们只需要依次对对象左乘变换即可，但是要注意顺序。
例如，我们想对X做变换M1,M2,…Mn，乘积的顺序应该是：
补充
三维空间中的旋转公式
绕x轴：
绕y轴：
绕z轴：
绕任意轴的旋转公式
观测变换
现在我们已经知道了在一个坐标空间中的物体是如何摆放和移动的，但是如果我们想要表示出我们是如何“看到”它们的，我们要怎么做呢？
例如，在现实生活中，火车的轨道是平行的，但是我们却能看到铁轨在远处交汇。通过观测变换，我们就能知道摄像机在指定的位置看到的物体是什么样的。
观测变换(MVP变换)分为：模型变换（模型摆放的位置）、视图变换（确定摄像机的位置和方向，并保证所有物体跟随摄像机移动）、投影变换（将三维空间的物体投影到二维平面上。
我们的重点是投影变换。
相机的摆放
以(0,0,0)为原点，将摄像机放在原点上，并以y轴方向为摄像机的上方向，使摄像机看向-z方向。这样摆放符合右手坐标系。
投影变换
投影变换分为两种：正交投影和透视投影。前者不遵循近大远小法则，而后者较为接近我们现实中看到的情况。
正交投影
假设物体在如下的立方体中，我们要做的是将其移动到正则立方体（(-1,1)^3）中。之后如何将其显示在屏幕上，我们会在下一节“光栅化”中讲解。
这个过程比较简单，我们只需要将其移动到原点，再进行缩放。变换矩阵如下：
透视投影及推导
在透视投影中，我们要投影的是如下所示的一个棱台。直接做投影比较困难，但是我们可以将其“压缩”成一个长方体后再对其做正交投影。下面给出推导过程。
所谓的压缩是指我们需要将较远的大平面压缩为和n处小平面相同大小。这里有三个原则：
- 近平面上的任意一点都不会发生改变
- 远平面上的任意一点的z值都不会发生改变
- 远平面上的中心点不会发生改变
对于任意一点(x,y,z)，我们假设它投影到近平面后的点为(x’,y’,z’)，从侧面看去，可以得到如下的一个相似三角形：
根据相似三角形的性质，我们可以得到：
同理可得：
因此，我们的目标就是找到一个变换矩阵使得(x,y,z)转换成(x’,y’,x’)，也可以写做如下形式：
通过这两个关系，我们已经可以推出变换矩阵的一部分。
剩下的一个行向量，我们需要用之前说过的三个原则来解出。
对于近平面上的点，它在变换前和变换后的z值都是n，可以得出：
对于远平面上的点，它在变换前和变换后的z值都是f，同理可得：
通过这两个方程，我们就可以解出A和B的值：
最终得到的变换矩阵如下：
之后的过程和正交投影相同。
